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       本期論文成果介紹基于第一性原理的金剛石薄膜熱導率神經網絡預測研究，為團隊博士生王彪在《中國科學：物理學 力學 天文學》發表的關于金剛石薄膜熱導率預測的最新研究。

論文信息：王彪, 任海杰, 曹文鑫, 胡彥偉, 何玉榮, 韓杰才, 朱嘉琦

https://doi.org/10.1360/SSPMA-2022-0036

通訊作者：朱嘉琦教授

01研究背景

       近年來, 隨著大功率、高發熱組件小型化、集成化的發展, 電子元器件的散熱問題得到了廣泛的關注, 如電子芯片、雷達系統和先進的射頻系統等。高性能意味著大的散熱需求, 尖端技術的發展與冷卻系統的冷卻能力密切相關。金剛石具有超高的導熱系數、無與倫比的機械強度、優異的熱力學特性等一系列卓越性能, 是實現“后摩爾”時代電子、光電子、量子芯片以及芯片散熱的基礎性材料之一。然而隨著電路中的電子元器件尺寸達到微納量級, 尺寸效應將極大影響金剛石的散熱特性, 因此, 對金剛石熱導率進行跨尺度分析有利于微納電子元器件的設計和熱管理。而玻爾茲曼輸運方程是描述多尺度聲子輸運現象的理想工具，然而因其高維性，利用其對不同尺度金剛石的熱導率進行數值求解預測極具挑戰性。

       作為一個專門用于求解非線性偏微分方程的深度學習框架, 物理信息神經網絡(Physics-Informed Neural Network, 簡記為PINN)的提出[1]為BTE的求解帶來了新的曙光, 與傳統的基于網格的方法（例如有限元方法）相比, PINN通過利用DNN的自動微分避免了偏微分方程(Partial Differential Equation, 簡記為PDE)的離散化, 其對于PDE的求解能力可以有效的解決BTE的強非線性問題。相較于純數據驅動的神經網絡, PINN中施加了物理信息約束, 因此能用更少的數據樣本學習得到更具泛化能力的模型[2]。Li等人[1]將基于能量的聲子-玻爾茲曼方程[3]嵌入到PINN中, 并命名為PINN-BTE, 以硅的聲子色散關系和文獻[4]中硅聲子弛豫時間表達式作為輸入, 通過最小化控制方程和邊界條件的殘差來預測聲子能量分布, 新的神經網絡對于單晶硅的預測效果良好。然而, 目前此方法對于金剛石這種高熱導率材料的預測能力尚未可知, 對輸入樣本數據的計算方法也需進一步擴展。本文基于第一性原理，結合以玻爾茲曼輸運方程為物理信息的神經網絡，有效地預測了金剛石內聲子的多尺度熱輸運問題，并與線性化玻爾茲曼輸運方程的求解結果對比，兩者具有較高一致性。

02 研究內容

       圖4為神經網絡預測結果, 展示了不同金剛石薄膜厚度下的歸一化熱導率隨特征尺寸L的變化規律。

       通過和線性化BTE迭代求解的結果進行對比, 兩者展現了相同的分布規律和變化趨勢, 從圖中可以觀察到, 金剛石由于其較長的聲子自由程, 其熱導率在毫米尺度便已經出現了尺寸效應, 同一溫度下, 尺度越小, 金剛石歸一化熱導率越低, 而溫度越低, 尺寸效應在熱導率上表現得越明顯, 即相同尺度下歸一化熱導率越低, 這和之前闡述的規律是一致的。

       由于fp-PINN-BTE中用的是基于能量單模弛豫時間近似的BTE模型, 輸入的聲子散射率為零階聲子散射率, 因此訓練過程中會對體熱導率有所低估, 最終導致由fp-PINN-BTE訓練得到金剛石歸一化熱導率相對于線性化BTE迭代求解結果有些許偏差。然而, fp-PINN-BTE在計算資源和效率上相比于線性化BTE迭代求解的巨大優勢是不容忽略的。

       圖5 展示了特定溫度域和特征尺寸域下擬合的歸一化熱導率曲面, 立足于已有預測點, 通過使用Delaunay 三角剖分執行插值將歸一化熱導率的范圍擴展到整個溫度域和特征尺寸域。鑒于數據點數量和擬合方法等因素, 此曲面可能與實際情況存在些許差距。未來將用物理信息神經網絡在物理規律上做出更多的改進, 擴充多溫度下不同尺度歸一化熱導率的結果, 并建立相應數據庫。

03 總結和展望

       本文研究了金剛石熱導率在不同尺度范圍內的變化規律。首次將基于第一性原理計算獲得的金剛石聲子信息作為PINN-BTE的輸入樣本進行訓練, 得到了不同金剛石薄膜厚度下的歸一化熱導率, 通過和線性化BTE迭代求解的結果進行對比, 兩者展現了相同的分布規律和變化趨勢; 驗證了PINN-BTE方法在超高熱導率材料上的適用性, 熱導率尺寸效應預測結果的規律和趨勢是相對準確的, 然而對金剛石的預測精度卻不如硅, 可見PINN-BTE方法在個別材料熱導率的預測上依然存在一些限制。且由于PINN-BTE中采用的是基于能量單模弛豫時間近似的BTE模型, 輸入的聲子散射率為零階聲子散射率, 這無疑會在聲子正散射占主導的金剛石材料的計算上產生誤差, 預測過程中會對絕對熱導率有所低估, 歸一化熱導率有所高估; 金剛石由于其較長的聲子自由程, 其熱導率在毫米尺度便已經出現了尺寸效應, 同一溫度下, 尺度越小, 金剛石歸一化熱導率越低, 而溫度越低, 尺寸效應在熱導率上表現得越明顯, 即相同尺度下歸一化熱導率越低。隨尺度的變化, 金剛石每個模態的聲子熱導率具有相似的變化規律。PINN-BTE在絕對熱導率預測和超高導熱材料歸一化熱導率預測中的不足有待進行更深的研究, 且當金剛石薄膜的厚度僅為數個原子時, 所展現出的新聲子模式有待進一步發掘。

參考文獻：

       [1] Li R, Lee E, Luo T. Physics-informed neural networks for solving multiscale mode-resolved phonon Boltzmann transport equation. Mater Today Phys, 2021, 19: 100429

       [2] Li Y, Chen S C. Physics-informed Neural Networks: Recent Advances and Prospects. Comput. Sci. (in Chinese). 2021 [李野, 陳松燦. 基于物理信息的神經網絡：最新進展與展望. 計算機科學, 2021]

       [3] Zhang C, Chen S, Guo Z, et al. A fast synthetic iterative scheme for the stationary phonon Boltzmann transport equation. Int J Heat Mass Transfer, 2021, 174: 121308

       [4] Terris D, Joulain K, Lemonnier D, et al. Modeling semiconductor nanostructures thermal properties: The dispersion role. J Appl Phys, 2009, 105(7): 073516